最近看 Lu 寶貝學幾何相關的概念，可說是學得如火如荼，自己也突然想起以前老師教過《幾何原本》中有五大公理，但是現在卻怎麼也想不起來，某個晚上偷閒去補腦了一下，在此做個紀錄。
歐氏平面幾何五大「公理」
- 從任意一點到另一個任意一點，可以畫一條直線。
- 一條有限長度的直線，可以持續地延長。
- 以任意一點為圓心，及任意一個給定距離，可以畫一個圓。
- 凡直角皆相等。
- 如果有一條直線與另兩條直線相交，若有一側的兩個內角和小於兩個直角的和，則這兩條直線持續不斷地延長之後，會在內角和小於兩個直角和的那一側相交。
我的印象中上面五個是被老師稱作「五大公理」，但是去看一些書裡面會用「設準」、「公設」這兩個詞，它的英文名詞是 postulate 、 axiom ，所以會有不同的中文名詞也不奇怪。
歐氏平面幾何五大「共有概念」
- 等於同量的量，彼此相等。
- 與同一事物相等的事物，彼此相等。
- 等量家等量，其和相等。
- 相等的事物加上相等的事物，彼此仍然相等。
- 等量減等量，其差相等。
- 相等的事物減去相等的事物，彼此仍然相等。
- 能重合的物，彼此相等。
- 一個事物能與另一個事物，則它們彼此相等。
- 全體大於部分。
- 整體大於局部。
這五大「共有概念」，有時候也會被稱作「一般概念」，它的英文名詞是 common notion ，這是歐幾里得為了呼應亞里斯多德的想法而產生的。亞里斯多德認為一個演繹的科學，除了「公理（設準、公設）」之外，應該要奠基於「共有概念」之上，來構成所有演繹思維的基礎。
思考
這些公理與共有概念在歐幾里得的論述之中，是我們必須要去相信的前提、敘述或是命題。
如果我們有幸與歐幾里得活在相同年代，在當下向歐氏提出甚麼是點？甚麼是直線？甚麼又是直角？又或者怎麼去證明這些公理與概念為真？歐幾里得可能無法給我們回答這些問題的答案。
後來去學了笛卡兒幾何（卡式幾何、解析幾何、座標幾何）之後，就知道原來歐氏幾何中的公理也是可以像定理一般被證明的，不需要被當成公理一般的盲目相信。
所以科學方法雖然有所不同，但是數學就是這麼其妙，公理方法、解析方法、甚至後來的代數方法（衍生出代數幾何），都可以正確解決所要處理的相同問題。